(5分)若,则()
A. B.
C. D.
C
(5分)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图:
则()
A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D. 讲座后问卷答题正确率的极差大于讲座前正确率的极差
B
(5分)设全集,集合,则CU(A∪B)=()
A. {1,3} B. {0,3} C. {-2,1} D. {-2,0}
D
(5分)如图,网格纸上绘制的是一个多面体的三视图,网格小正方形的边长为1,则该多面体的体积为()
A. 8 B. 12 C. 16 D. 20
(5分)函数在区间的图象大致为()
A
(5分)当时,函数取得最大值-2,则()
A. -1 B. C. D. 1
(5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知与平面ABCD和平面所成的角均为30°,则()
A. B. AB与平面所成的角为30°
C. D. 与平面所成的角为45°
(5分)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”,如图,是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是的AB中点,D在上,.“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式:.当时,()
(5分)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为,侧面积分别为和,体积分别为和.若,则()
A. B. C. D.
(5分)椭圆的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线的斜率之积为,则C的离心率为()
(5分)设函数在区间恰有三个极值点、两个零点,则的取值范围是()
(5分)已知,则()
(5分)设向量,的夹角的余弦值为,且,,则_________.
11
(5分)若双曲线的渐近线与圆相切,则_________.
(5分)从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率为________.
.
(5分)已知△ABC中,点D在边BC上,.当取得最小值时,________.
(或)
(12分)
记Sn为数列{an}的前n项和.已知.
(1)证明:{an}是等差数列;
(2)若成等比数列,求Sn的最小值.
(1)证明:因为,即①,
当时,②,
①②得,,
即,
即,所以,且,
所以是以为公差的等差数列.
(2)解:由(1)可得,,,
又,,成等比数列,所以,
即,解得,
所以,所以,
所以,当或时.
在四棱锥中,底面.
(1)证明:;
(2)求PD与平面所成的角的正弦值.
(1)证明:在四边形中,作于,于,
因为,
所以四边形为等腰梯形,
所以,
故,,
因为平面,平面,
又,
所以平面,
又因平面,
所以;
(2)解:如图,以点原点建立空间直角坐标系,
,
则,
设平面的法向量,则有,可取,
所以与平面所成角的正弦值为.
甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.
(1)求甲学校获得冠军的概率;
(2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望.
(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为,所以甲学校获得冠军的概率为
.
(2)依题可知,的可能取值为,所以,
,
即分布列为
0
10
20
30
0.16
0.44
0.34
0.06
期望.
设抛物线的焦点为F,点,过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,.
(1)求C的方程;
(2)设直线与C的另一个交点分别为A,B,记直线的倾斜角分别为.当取得最大值时,求直线AB的方程.
(1)抛物线的准线为,当与x轴垂直时,点M的横坐标为p,
此时,所以,
所以抛物线C的方程为;
(2)设,直线,
由可得,,
由斜率公式可得,,
直线,代入抛物线方程可得,
,所以,同理可得,
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为,
若要使最大,则,
设,则,
当且仅当即时,等号成立,
所以当最大时,,设直线,
代入抛物线方程可得,
,所以,
所以直线.
已知函数.
(1)若,求a的取值范围;
(2)证明:若有两个零点,则环.
(1)的定义域为,
令,得
当单调递减
当单调递增,
若,则,即
所以的取值范围为
(2)由题知,一个零点小于1,一个零点大于1
不妨设
要证,即证
因为,即证
即证
下面证明时,
设,
则
设
所以,而
所以,所以
所以在单调递增
即,所以
令
所以在单调递减
即,所以;
综上, ,所以.
[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系中,曲线的参数方程为(t为参数),曲线的参数方程为(s为参数).
(1)写出的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,求与交点的直角坐标,及与交点的直角坐标.
(1)因为,,所以,即的普通方程为.
(2)因为,所以,即的普通方程为,
由,即的普通方程为.
联立,解得:或,即交点坐标为,;
联立,解得:或,即交点坐标为,.
[选修4-5:不等式选讲] (10分)
已知a,b,c均为正数,且,证明:
(1);
(2)若,则.
(1)证明:由柯西不等式有,
当且仅当时,取等号,
(2)证明:因为,,,,由(1)得,
即,所以,
由权方和不等式知,
当且仅当,即,时取等号,
所以.